Об асимптотике решений линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка с коэффициентами-распределениями

1. Пусть p,q,r – комплекснозначные измеримые на промежутке [1,+∞) функции, такие, что функции p,p^(-1),q^2 p^(-1),r принадлежат пространству L_loc^1 [1,+∞) локально интегрируемых по Лебегу на промежутке [1,+∞) функций. В настоящей работе будет исследована асимптотика решений дифференциальных уравнений вида (1) при x→+∞, где λ – комплексный параметр, производные понимаются в смысле теории распределений.

Структура настоящей работы следующая.

В параграфе 2 введена матрица типа Шина- Зеттла, порождающая квазипроизводные заданной функции y и квазидифференциальное выражение τ(y). Доказано утверждение, позволяющее отождествить дифференциальное выражение l(y) с соответствующим квазидифференциальным выражением τ(y). В параграфе 3 приводятся с доказательством теоремы об асимптотике решений уравнения (1) при x→+∞.

2. Определим квадратную матрицу F=(f_ij) четвертого порядка, ненулевые элементы которой определяются равенствами 1,,, Следуя известной процедуре (см., например, [1, с. 313]), введем квазипроизводные y^([j]) (j=0,1,2,3) заданной функции y, полагая,,, +.

Определим далее квазидифференциальное выражение по формуле τ(y)=(y^[3])^’-ry^[1].

Областью определения D

квазидифференциального выражения τ(y) – это множество всех комплекснозначных функций y, для которых квазипроизводные y^[0],y^[1],y^[2],y^[3] ∈ 〖AC〗_loc [1,+∞). При этом для любой функции y∈D справедливо, что τ(y) ∈ L_loc^1 [1,+∞). Рассмотрим квазидифференциальное уравнение (2) где λ – комплексный параметр.

Рассмотрим далее систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка вида (3) где Y=colon(y^[0],y^[1],y^[2],y^[3]), матрица F=(f_ij) определена ранее, а элементы матрицы R=(r_ij) заданы равенствами r_41=λ и r_ ij=0 при всех остальных значениях i и j. Квазидифференциальное уравнение (2) и система линейных уравнений (3) являются равносильными, а именно, если y является решением уравнения (2), то, взяв в качестве квазипроизводной y^[0] функцию y, получим, что соответствующий Y=colon(y^[0],y^[1],y^[2],y^[3]) является решением системы (3). Верно и обратное утверждение, а именно, если Y=colon(y^[0],y^[1],y^[2],y^[3]) является решением системы (3), то его первая компонента y=y^[0] является решением уравнения (2).

Так как p,p^(-1),q^2 p^(-1),r∈ L_loc^1 [1,+∞), то для системы (3) на промежутке [1,+∞) справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши. Следовательно, данная теорема справедлива и для уравнения (2).

Утверждение. Для всех функций y∈D выполняется равенство.

Доказательство. Для всех функций y∈D в смысле теории распределений справедливы равенства,.

Тогда

Следовательно, l(y)=τ(y). Утверждение доказано.

Данное утверждение позволяет рассматривать дифференциальное уравнение (1) с коэффициентами-распределениями как квазидифференциальное уравнение (2).

Отметим, что общий подход к регуляризации дифференциальных уравнений высших порядков с коэффициентами – распределениями как квазидифференциальных уравнений, порожденных матрицами Шина-Зеттла, был предложен в работе [2, с. 790].

3. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть, где

и

(4)

Тогда при уравнение (1) имеет фундаментальную систему решений (j=1,2,3,4) вида, (5) при, где различные корни четвертой степени из Доказательство. В силу доказанного утверждения Значит, дифференциальное уравнение (1) равносильно квазидифференциальному уравнению (2), а уравнение (2), в свою очередь, равносильно системе дифференциальных уравнений вида (6) где, элементы числовой матрицы определяются равенствами, при j=1,2,3,4 и для всех остальных значений и. Ненулевые элементы матрицы определяются равенствами,,,,,.

Если, то матрица имеет различные собственные числа различные корни четвертой степени из числа Из условия (4) следует, что матрица. Применив теперь теорему 1.9.1 из монографии [3, c. 37], получим, что система (6) имеет решения, j=1,2,3,4, вида, где собственный вектор, соответствующий.

Учитывая взаимосвязь между решениями уравнения (2) и решениями системы (6), получим, что справедливы формулы (5). Теорема доказана. Теорема 2. Пусть, где и (7) Тогда при уравнение (1) имеет фундаментальную систему решений (j=1,2,3,4) вида, (8), (9) при Доказательство. Ранее показано, что уравнение (2) равносильно системе (6). Если то матрица имеет четырехкратное собственное значение, равное нулю. Система уравнений имеет четыре линейно независимых решения,,,.

Обозначим символом диагональную матрицу вида. Пусть далее. Ненулевые элементы матрицы определяются равенствами,,,,,.

Из условия (7) следует, что матрица. Применив теперь теорему 1.10.1 из монографии [3, c. 42], получим, что система уравнений (6) имеет решения, j=1,2,3,4, представимые в виде,,,, Учитывая взаимосвязь между решениями уравнения (2) и решениями системы (6), получим, что справедливы формулы (8) и (9). Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть существует такое, что функции представимы в виде,,, где $ комплексные числа, а функции комплекснозначные функции, удовлетворяющие условию (10) Здесь наибольшее из чисел, равных кратностям корней многочлена от переменной вида Пусть корень кратности Тогда уравнение (1) имеет решения (j=1,2,…,) вида,,,.

где некоторые комплексные числа и.

Замечание. Отметим, что в работе [4, c. 219] изучен вопрос об асимптотике на бесконечности решений двучленных дифференциальных уравнений четного порядка с коэффициентами-распределениями вида, где а производные понимаются в смысле теории распределений.

В работе [5, c. 25] исследована асимптотика на бесконечности решений дифференциальных уравнений нечетного порядка с коэффициентами-распределениями вида, где а производные понимаются в смысле теории распределений.

(1)

при x→+∞, где λ – комплексный параметр, производные понимаются в смысле теории распределений.

Структура настоящей работы следующая.

В параграфе 2 введена матрица типа Шина- Зеттла, порождающая квазипроизводные заданной функции y и квазидифференциальное выражение τ(y). Доказано утверждение, позволяющее отождествить дифференциальное выражение l(y) с соответствующим квазидифференциальным выражением τ(y). В параграфе 3 приводятся с доказательством теоремы об асимптотике решений уравнения (1) при x→+∞.

4. Определим квадратную матрицу F=(f_ij) четвертого порядка, ненулевые элементы которой определяются равенствами 1,,, Следуя известной процедуре (см., например, [1, с. 313]), введем квазипроизводные y^([j]) (j=0,1,2,3) заданной функции y, полагая,,, +.

Определим далее квазидифференциальное выражение по формуле τ(y)=(y^[3])^’-ry^[1].

Областью определения D

квазидифференциального выражения τ(y) – это множество всех комплекснозначных функций y, для которых квазипроизводные y^[0],y^[1],y^[2],y^[3] ∈ 〖AC〗_loc [1,+∞). При этом для любой функции y∈D справедливо, что τ(y) ∈ L_loc^1 [1,+∞). Рассмотрим квазидифференциальное уравнение (2) где λ – комплексный параметр.

Рассмотрим далее систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка вида (3) где Y=colon(y^[0],y^[1],y^[2],y^[3]), матрица F=(f_ij) определена ранее, а элементы матрицы R=(r_ij) заданы равенствами r_41=λ и r_ ij=0 при всех остальных значениях i и j. Квазидифференциальное уравнение (2) и система линейных уравнений (3) являются равносильными, а именно, если y является решением уравнения (2), то, взяв в качестве квазипроизводной y^[0] функцию y, получим, что соответствующий Y=colon(y^[0],y^[1],y^[2],y^[3]) является решением системы (3). Верно и обратное утверждение, а именно, если Y=colon(y^[0],y^[1],y^[2],y^[3]) является решением системы (3), то его первая компонента y=y^[0] является решением уравнения (2).

Так как p,p^(-1),q^2 p^(-1),r∈ L_loc^1 [1,+∞), то для системы (3) на промежутке [1,+∞) справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши. Следовательно, данная теорема справедлива и для уравнения (2).

Утверждение. Для всех функций y∈D выполняется равенство.

Доказательство. Для всех функций y∈D в смысле теории распределений справедливы равенства,.

Тогда.

Следовательно, l(y)=τ(y). Утверждение доказано.

Данное утверждение позволяет рассматривать дифференциальное уравнение (1) с коэффициентами-распределениями как квазидифференциальное уравнение (2).

Отметим, что общий подход к регуляризации дифференциальных уравнений высших порядков с коэффициентами – распределениями как квазидифференциальных уравнений, порожденных матрицами Шина-Зеттла, был предложен в работе [2, с. 790].

5. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть, где

и

(4)

Тогда при уравнение (1) имеет фундаментальную систему решений (j=1,2,3,4) вида, (5) при, где различные корни четвертой степени из Доказательство. В силу доказанного утверждения Значит, дифференциальное уравнение (1) равносильно квазидифференциальному уравнению (2), а уравнение (2), в свою очередь, равносильно системе дифференциальных уравнений вида (6) где, элементы числовой матрицы определяются равенствами, при j=1,2,3,4 и для всех остальных значений и. Ненулевые элементы матрицы определяются равенствами,,,,,.

Если, то матрица имеет различные собственные числа различные корни четвертой степени из числа Из условия (4) следует, что матрица. Применив теперь теорему 1.9.1 из монографии [3, c. 37], получим, что система (6) имеет решения, j=1,2,3,4, вида, где собственный вектор, соответствующий.

Учитывая взаимосвязь между решениями уравнения (2) и решениями системы (6), получим, что справедливы формулы (5). Теорема доказана. Теорема 2. Пусть, где и (7) Тогда при уравнение (1) имеет фундаментальную систему решений (j=1,2,3,4) вида, (8), (9) при Доказательство. Ранее показано, что уравнение (2) равносильно системе (6). Если то матрица имеет четырехкратное собственное значение, равное нулю. Система уравнений имеет четыре линейно независимых решения,,,.

Обозначим символом диагональную матрицу вида. Пусть далее. Ненулевые элементы матрицы определяются равенствами,,,,,.

Из условия (7) следует, что матрица. Применив теперь теорему 1.10.1 из монографии [3, c. 42], получим, что система уравнений (6) имеет решения, j=1,2,3,4, представимые в виде,,, Учитывая взаимосвязь между решениями уравнения (2) и решениями системы (6), получим, что справедливы формулы (8) и (9). Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть существует такое, что функции представимы в виде,,, где $ комплексные числа, а функции комплекснозначные функции, удовлетворяющие условию (10) Здесь наибольшее из чисел, равных кратностям корней многочлена от переменной вида Пусть корень кратности Тогда уравнение (1) имеет решения (j=1,2,…,) вида,,,.

где некоторые комплексные числа и.

Замечание. Отметим, что в работе [4, c. 219] изучен вопрос об асимптотике на бесконечности решений двучленных дифференциальных уравнений четного порядка с коэффициентами-распределениями вида, где а производные понимаются в смысле теории распределений.

В работе [5, c. 25] исследована асимптотика на бесконечности решений дифференциальных уравнений нечетного порядка с коэффициентами-распределениями вида, где а производные понимаются в смысле теории распределений.